1、飼料配方中影子價格的定義和意義
在以線性規劃為基礎的飼料配方模型分析和應用中，對影子價格的表述有兩個：一是配方營養約束條件的影子價格：二是原料的影子價格，
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1.1 配方營養約束條件的影子價格
根據線性規劃模型對影子價格的基本定義，飼料配方中營養約束條件的影子價格指的是在其它約束條件不變的條件下，該營養約束條件的約束值改變一個單位，導致配方成本的改變。大多數的線性規劃著作中都是這樣定義營養約束條件的影子價格的。有些飼料配方文獻將其定義為飼料配方唯一的影子價格，其依據或許即在于此。
然而，營養約束條件的影子價格本身對飼料配方、原料采購與管理基本上是沒有意義的，而且在理解和應用不當的情況下，可能造成誤導。但就線性規劃模型的算法原理而言，約束條件作為一種獨立資源，其影子價格對于增加生產或投資的決策往往有重大意義。該資源單位投入的實際成本如低于其影子價格，企業將增加收益：如超過其影子價格，企業將減少收益；如等于其影子價格，企業投資收支平衡(Wikipedia，2006)。但是，這一分析不適用于飼料配方中的營養約束條件。首先，各營養成分不是單獨存在的資源，而是以多種成分同時存在的方式寄寓于飼料原料中的．我們不可能孤立地“買”、“賣”或投入某一營養成分。其次，大量的營養學研究證明，在約束的營養成分之間，尤其是能量和其它營養成分之間存在著密切關系。也就是說，它們之間不是獨立變量(independent vari-able)，而是參（數）變量(parametric variable)關系。如果把能量視為獨立變量或自變量，其它營養成分則是依存變量或因變量(dependent variable)。能量和其它營養成分只有在配方中保持一定的比例關系，各營養成分才能作為一種資源實現優化利用。配方中能量濃度提高或降低，其它營養成分如蛋白質、氨基酸，也應按比例提高或降低。對于大多數畜禽種類來說，各營養成分需要量之間的相互關系已經確立。一個合格的營養配方師在設定營養約束條件時，已將各營養成分需要量之間的相互關系考慮在內，只不過是在建立最低成本配方的線性規劃模型時，將各營養成分約束條件“簡化”或假設為獨立變量。許多實際問題都是經過簡化后，再建立線性規劃模型，因此線性規劃所提供的信息，未必完全適用于原實際問題的具體分析。將簡化為獨立變量計算出的“影子價格”用于調整配方，違背了以資源充分合理分配并有效利用為核心，資源優化利用下的實際價值（或成本）這一影子價格定義的基本出發點（何承等，2002）。這樣做的結果，往往導致資源的浪費。例如，孤立地降低對能量濃度的約束（而不相應地降低對蛋白質、氨基酸的約束），必然導致蛋白質、氨基酸過多地從糞和尿中的流失，在集約化飼養條件下還將加重環境污染。如果一定要談約束營養條件對配方成本的影響，只有將各主要營養成分的約束和能量“掛鉤”，作為參數變量處理。這一點在簡化了的“最大收益配方”模型(熊易強和裴鑫德，1987)和“參數配方”模型(Bushman，1997)中均做了闡述。“最大收益配方”與“參數配方”為非線性規劃模型，但均可經過適當處理，用線性規劃模型解決。
有些文獻還在各營養約束條件的“影子價格”之間比較其對配方成本的影響或敏感程度，并得到“單位能量的變化對目標函數即配方成本最為敏感”的結論。在進行這類比較時，有關作者首先忽視了各營養約束所采用的單位。能量與以百分數或kg為單位的其它營養成分之間是不存在可比性的。在不存在可比性的能量與其它營養成分之間強行比較時，有關作者采用了兆卡作為能量單位，如改為千卡，其敏感度即降低到以兆卡為單位的千分之一，“能量對配方成本最為敏感”的結論，就不得不予以重新考慮了。其次，即使是同一單位，由于各營養成分（例如一個百分點的賴氨酸和一個百分點的蛋白質）之間內涵的不同，比較營養約束條件“影子價格”對配方成本的影響，也是沒有什么意義的。
1.2飼料原料的影子價格
筆者認為應當強調飼料原料的影子價格。因為，就配合飼料的生產經營而言，飼料原料是投入的主要資源。現實中存在的是飼料原料的市場價格，我們就有必要研究和討論其相應的影子價格。飼料原料的影子價格對飼料原料采購與管理有現實意義。
原料的影子價格的傳統定義是：在給定的原料價格結構和配方約束條件下，在配方中被選中的某一飼料原料開始被其它原料所取代的價格：或者指某一未被選中的飼料原料開始進入配方中的價格（美國堪薩斯州立大學，“配合飼料生產工藝學1980”課堂講授筆記：2001年與美國堪薩斯州立大學教授Behnke博士的交談）。言外之意，所有被選人配方中的原料（除了作為約束條件迫使進入配方的原料之外）．市場價格必然低于其影子價格；所有未被選人配方的原料，市場價格必然高出其影子價格。一個原料的影子價格反映了該原料在配方中對于相關原料的實際價值。推算一個已被選中原料的影子價格，可以在固定其它原料價格的條件下，逐步提高該原料的價格，當該原料開始被其它原料所取代時，即是該原料的影子價格。同樣，可以在固定其它原料價格的條件下，用逐步降低一個未被選中原料的價格來推算其影子價格。一般的專用飼料配方軟件均可以在篩選出最低成本配方的同時，在原料價格的靈敏度一欄中得到參選原料影子價格的信息：對于配方中被選中的原料來說，其影子價格即是其靈敏度的上限；對于未被選人配方的原料來說，其影子價格即是其靈敏度的下限。
原料靈敏度分析屬于線性規劃中的目標函數系數的靈敏度分析(范玉妹等，2004；束金龍和聞人凱，2003)。在約束條件及其它參選原料價格不變的條件下，某一參選原料價格在其靈敏度范圍內變動，不會改變配方。對入選原料來說，當該原料價格上升至靈敏度上限后，計算機即開始減少其在配方中的用量并相應補充其它相關參選原料，以實現“配方的單位成本最低”這一目標函數。因此，入選原料的靈敏度上限也就是該原料在該配方中的影子價格或實際價值。如出現沒有靈敏度上限或原料靈敏度上限為無限大的情況時，其所提供的信息是：無論該原料價格上漲到多高，該原料在配方中的比例不會改變。這是一種較為罕見的情況，對配方優化和飼料市場經營不利，應予以避免。避免的途徑：一是引入盡可能多的市場上可以買到的原料，尤其是與該原料有競爭關系的原料（例如玉米與大米、小麥、高糧之間作為能量飼料存在競爭關系，去皮豆粕與帶皮豆粕、棉籽粕、菜籽粕之間作為蛋白飼料存在競爭關系）；二是合理而適當地調整配方的約束條件。至于人選原料的靈敏度下限，其所表達的含義是：當該原料的市場價格下降到其靈敏度下限以下（且其它參選原料價格及所有約束條件均不改變）時，計算機會選人更多的該原料，并相應降低其它原料在配方中的比例，以實現配方的單位成本最低這一目標函數。因此人選原料的靈敏度下限與原料的影子價格無關。根據線性規劃模型導出的入選原料靈敏度低限有時會出現零或負值，這對于飼料原料的價格來說自然毫無意義。它所提供的信息是：在配方的約束條件中，其它參選原料價格不變的條件下，不管該原料市場價格如何進一步下降，其在配方中的使用量不可能增加：盡管該原料在配方中的使用量不可能增加，而且公司的銷售量或生產量也不增加，如果該原料市場價格下降至遠低于其影子價格并達到了歷史上少見的“低谷”時，可以根據對市場前景的分析，資金及原料貯藏的技術條件，適當多購入一些該原料，以便在今后價格上漲的情況下，保證配方的低成本，或向市場出售。
對于未被選人配方的原料來說，當其市場價格降到其靈敏度下限以下（且其它參選原料價格及所有約束條件均不改變）時，計算機開始選入該原料。因此，線性規劃中靈敏度下限也就是該原料在該配方中的影子價格或實際價值。未被選人配方的原料價格上漲不影響現有配方，因此不存在靈敏度上限，這是由線性規劃的目標函數系數靈敏度的基本定義決定的。
1.3營養約束條件的影子價格和原料影子價格之間的關系
以上討論的是不設約束條件的參選原料的影子價格。對于通過約束條件被計算機強迫納入配方(≥)或限制其在配方中的使用量(≤)的原料影子價格，文獻中涉及不多。一般說來，被設為約束條件的原料，其用量落在約束點（≤或≥）時，其影子價格可按線性規劃模型約束條件的影子價格基本定義來確定，即在其它約束條件和其它原料價格不變條件下、該原料的約束值改變一個單位對配方成本的影響。需要提到的是，約束條件的影子價格，即原線性規劃模型的對偶模型最優解的對偶變量，其具體數值僅適用于該約束條件的靈敏度范圍（束金龍和聞人凱．2003）。至于原料約束條件的影子價格對飼料配方、原料采購和原料管理的意義，則需要具體分析。如果對某一約束原料的影子價格分析表明，從配方中增加或減少一個單位或一個百分點，可以顯著降低配方成本；而營養配方師所設定的約束值又不是絕對不可調整的，該原料的這一影子價格信息對進一步改進配方設計就很有價值。對于以固定量（如1%）加入配方的預混料而言，其影子價格基本上是沒有意義的。預混料的內涵是由營養配方師確定的各種微量添加成分，而以預混料的形式按固定量加入配方是為了飼料加工工藝的需要。營養配方師對此一般無意改變。至于預混料各種微量添加成分（如營養性或藥物性添加劑）的影子價格，將在隨后的原料影子價格實際應用的舉例中討論。如果被設為約束條件的原料，其用量落在約束點（≤或≥）以外時，其影子價格則應按無約束條件下的被選原料（即該原料在配方中靈敏度的上限）確定。
Rossi(2004)將飼料的影子價格定義為未被選人配方的原料靈敏度下限與該原料的市場價格之差，并認定入選原料的影子價格為零。
筆者認為Rossi的定義不妥。影子價格的一般概念是對市場價格而言的反映優化利用條件下資源的實際價值的一種計算價格（何承耕等，2002），因此不應當用與市場價格之差來表達，更不應當為零。飼料原料包括入選原料，作為一種資源，都存在著相對于其市場價格的影子價格。而在配方中的人選原料的靈敏度上限客觀地反映了該原料在該配方中相對于相關原料的實際價值。當某入選飼料原料價格上升至靈敏度上限后，該原料在配方中的用量開始被其它原料取代．配方相應改變，這時電腦會顯示出該原料的一個新靈敏度上限或新的影子價格，但已不是原來配方下的影子價格了。據此，Rossi (2004)提出了參數價格變化(parametric price changes)的概念。參數價格變化指的是當某入選飼料原料價格上升（下降）至靈敏度上限（下限）后，該原料在配方中的用量相應減少（增加）；據此還可以繪制出同一飼料配方約束條件及其它參選飼料原料價格不變條件下，該飼料在不同價格范圍內在配方中用量的“關系圖”或“價格圖(price map)”。這對于飼料原料的采購與管理相當有價值。”在《數學規劃及其應用》一書中，范玉妹等(2004)在用影子價格分析一例食品配方的線性規劃問題中，用食品原料所含的營養約束條件影子價格的總和，計算該原料的影子價格。其計算結果與前述未被選中原料的影子價格（即未被選中原料的靈敏度下限）相同。該分析揭示了營養成分約束條件的影子價格與飼料原料影子價格之間的聯系。但是，對于配方中的入選原料來說，用同一方法，即飼料原料所含的營養約束條件影子價格的總和計算該原料影子價格，其影子價格與其市場價格相同。這一計算結果本身是沒有問題的，因為配方優化的結果本身就是根據原料的營養成分及原料的市場價格在給定的約束條件下得到的。這恐怕也是Rossi (2004)在以“差價”定義影子價格情況下認定入選原料影子價格為零的數學依據。現在面臨的問題是如何定義入選原料的影子價格，是按“人選原料的影子價格就是其市場價格”定義，還是按前文中傳統概念下的原料影子價格即“入選原料的影子價格是指該飼料原料在配方中開始被其它原料所取代的價格，也就是該原料價格靈敏度的上限”定義，筆者傾向于后者。這樣定義的缺陷是偏離了范玉妹等(2004)表達和計算飼料原料影子價格和營養約束條件的影子價格之間關系的數學基礎。但是，總比“入選原料的市場價格就是該原料的影子價格（或入選原料不存在市場價格以外的影子價格）”這一結論更合乎邏輯。將人選原料的影子價格定義為該飼料原料在配方中開始被其它原料所取代的價格，反映了該原料在給定的約束條件下與相關原料價格之間的關系．對飼料原料采購和管理具有現實意義。
2、飼料原料影子價格的應用
評價飼料原料的傳統方法是計算飼料原料中每種主要營養指標（如蛋白質、限制性氨基酸、ME等）的價格。盡管不少營養師仍然以此為依據來評價飼料原料和指導飼料原料采購，但是這種方法往往不能表明飼料原料在配方中的真實價值。例如，從單項營養成分蛋白、代謝能、賴氨酸、蛋氨酸來比較，去皮豆粕的價值最高不超過帶皮豆粕的110%。然而，大量、反復的飼料配方模擬于飼養試驗的結果表明，去皮豆粕的實際價值對豬和肉雞的飼養來說，相當于帶皮豆粕的112%-127%，遠遠超過用單一營養成分所計算的價值。這是因為一種飼料原料的實際價值寄寓于一定的原料價格下，一定的飼料配方設計（營養成分和原料約束條件）矩陣的動態運算之中。去皮豆粕不僅蛋白質、氨基酸含量高，代謝能也高，在滿足配方蛋白質氨基酸的約束條件下，可以在配方中給出更多的空間，以玉米取代價格相對較高的油脂。這里，我們指的是原料之間的“相對影子價格”，即一種原料與另一種或幾種原料相互取代所導致的優化配方成本差異，或由此而計算的二者實際價值的比例關系。引入“相對影子價格”這一概念．是因為在原料采購和管理中經常要觀察和比較市場上相關原料之間的價格比例關系。當然，這尚未涉及某原料在某特定條件下的影子價格，原料的相對影子價格也可以從試驗數據中得到。
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